↔️ Calcul algébrique

Les bases

Polynômes

• Formule pour calculer $\mathrm{\Delta }$ delta :

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$

• Si $\mathrm{\Delta }<0$ : pas de solution à l'équation :

  $$S=\mathrm{\varnothing }$$

• Si $\mathrm{\Delta }=0$ : une seule solution :

  $$S=\frac{-b}{2a}$$

• Si $\mathrm{\Delta }>0$ : deux solutions à l'équation :

  $$S_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$$$S_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$

Formules d'inéquations

Pour $x\in \mathbb{R}$ et $a\in {\mathbb{R}}^{+}$, on a :

• $|x|<a⟺-a<x<a$

• $|x|>a⟺x<-a\text{ou}x>a$

• En cas de multiplication/division par nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inéquation

Fractions et puissances

• ${\displaystyle \frac{1}{x}}=x^{-1}$
• $x^{-1}\times x^2=x$
• $x^a\times x^b=x^{a+b}$

Identités "remarquables"

• $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$
• $(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$
• $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

Résolution de polynômes du 3ᵉ degré

1. Trouver une racine "évidente", solution de l'équation. On l’appelle $E_1$.

2. Réduire le polynôme au second degré en effectuant la division euclidienne du polynôme initial par $x-E_1$ (On factorise le polynome).

   Warning

   Si le reste n’est pas nul, c’est qu’il y a une erreur de calcul.

3. Résoudre le polynôme du second degré trouvé.
   On obtient alors au maximum trois solutions.

Tableau de signes d'un polynôme du second degré

Pour un polynôme $P(x)=a{x}^2+bx+c$ avec $\mathrm{\Delta }>0$ et solutions $x_1<x_2$ :

Intervalle	$(-\mathrm{\infty },x_1)$	$(x_1,x_2)$	$(x_2,+\mathrm{\infty })$
Signe de $P(x)$	$\text{sgn}(a)$	$-\text{sgn}(a)$	$\text{sgn}(a)$

• Pour $P(x)>0$ : on prend les intervalles où le polynôme est positif.
• Pour $P(x)<0$ : on prend les intervalles où le polynôme est négatif.

Exemple : pour $2x^2-5x+2$
$\mathrm{\Delta }=9>0\Rightarrow x_1=\frac{1}{2},x_2=2$
Si $a=2>0$, tableau des signes : + | - | +
Donc $2x^2-5x+2>0\Rightarrow x<\frac{1}{2}$ ou $x>2$

Note

Penser à mettre en facteur