🔢 Représentation des nombres

🂥, Ⅴ, 5, Cinq, ${101}_2$ : tout ces caractères sont des représentants du même nombre : 5.

Dans une machine, les informations sont (en)codées avec de l’électricité. On note 0 si il n'y a pas de courant et 1 si il y en a. Ces 0 et 1 sont les chiffres binaires (binary digits, bits en anglais).

Un paquet de 8 bits est appelé octet (bytes en anglais). Les octets sont ensuite organisés en mot machines de 2, 4, 8 octets (16, 32, 64 bits). Les conventions permettant d'associer un sens aux mots machines s'appellent encodages.

Encodage des entiers naturels $\mathbb{N}$

Représentation usuelle

D'habitude les nombres sont représentés en base 10 : avec 10 chiffres de 0 à 9.

Exemple : $123=1\times {10}^2+2\times {10}^1+3\times {10}^0$

Représentation binaire

Le binaire utilise la base 2. On écrit donc les nombres avec des bits (et non des chiffres).

Exemple : ${123}_{10}={1111011}_2$

Boutisme

Quand on écrit un groupe de bits, il y a deux façon de le lire

• de droite à gauche : le gros-boutisme (big-endian)
• de gauche à droite : le petit-boutisme (little-endian)

Hexadécimal

Au lieu d'écrire des lignes interminables de bits, on a créé une autre notation pour simplifier la notation : l'hexadécimal. Cette base est composé de 16 unités, de 0 à f.

Exemple : ${6748}_{10}={11011001011100}_2=1A5C_{16}$

On divise donc par 16 pour passer d'un base 10 à un hexadécimale.

Opérations Usuelles

Encodage des entiers relatifs $\mathbb{Z}$

Idée de bit de signe

Complément à 2

Encodage des flottants

Pour encoder des flottants, on suivra la norme IEEE754 (Institute of Electrical and Electronics Engineers). On décompose un flottant de 64 bits en:

• 1 bit pour le signe (noté s)
• 11 bits pour l'exposant (noté e)
• 52 bits pour la mantisse (noté m)

On doit pouvoir l'écrire, en décimal, de la manière suivante :

$$s\times m\times 2^{e-1023}$$

la mantisse est écrite en puissance de deux inversés (1/2, 1/4...).

Warning

Les flottants ne peuvent pas représenter tout les nombres réels (on ne peux pas écrire une infinité de nombres sur 64 bits).